10. Пропорции и отношения

10. Отношения, пропорции и пропорционалност

Авторски диагностични задачи по раздел „Пропорции“, 6. клас, част 2, „Архимед“. Работи без калкулатор. За графиките използвай лист на квадратчета. Подусловията се проверяват отделно.

Отношение и мащаб

1. Съкрати отношенията: а) 18 : 24; б) 0, 6 : 1, 5; в) 45 min : 2 h.
2. В група има 12 момчета и 18 момичета. Намери отношенията: а) момчета към момичета; б) момчета към всички; в) момичета към всички.
3. Раздели: а) 60 в отношение 2 : 3; б) 84 в отношение 2 : 3 : 7.
4. На карта с мащаб 1 : 50 000 разстоянието е 3, 6 cm. а) Колко километра е в действителност? б) Колко сантиметра на картата са 5 km?

Пропорция и свойства

5. Проверѝ чрез кръстните произведения: а) $\frac{3}{5}=\frac{12}{20}$; б) $\frac{4}{7}=\frac{10}{21}$.
6. Намери неизвестното: а) $\frac{x}{15}=\frac{4}{5}$; б) $\frac{6}{x}=\frac{9}{12}$; в) 2, 5 : 5 = x : 18.
7. От $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ при положителни a, b, c, d следва ли: а) $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$; б) $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$; в) $\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$? Обоснови или провери с числов пример и общо преобразуване.
8. За 4 порции трябват 300 g ориз. а) Колко трябва за 10 порции? б) За колко порции стигат 750 g?

Права пропорционалност

9. Един килограм продукт струва 4 лв. а) Запиши зависимостта между цената y и масата x. б) Намери y за x = 0, 5; 2; 3, 5. в) Посочи коефициента.
10. Попълни таблицата при y = 3x и начертай графиката за 0 ≤ x ≤ 4:

11. В права пропорционалност на x = 6 съответства y = 15. а) Намери коефициента в y = kx. б) Намери y при x = 10. в) Намери x при y = 35.

Обратна пропорционалност

12. Четирима еднакво производителни работници вършат работа за 15 дни. а) За колко дни ще я свършат шестима? б) Колко работници са нужни за 5 дни? Приеми еднакви условия и независима работа.
13. За изминаване на 120 km попълни времето t при скорости v = 30, 40, 60, 80 km/h. а) Кое произведение е постоянно? б) Каква е зависимостта?
14. При обратна пропорционалност x = 3 съответства на y = 8. а) Запиши зависимостта. б) Намери y при x = 6. в) Намери x при y = 2.

Разпознаване и аргументиране

15. Определи вида зависимост: а) брой еднакви тетрадки и обща цена; б) скорост и време за фиксирано разстояние; в) страна на квадрат и обиколка; г) страна на квадрат и лице. Последната права пропорционалност ли е?
16. Такси взема 3 лв. начална такса и 2 лв. за километър. а) Запиши цената за x km. б) Права пропорционалност ли е? в) Сравни цените за 2 и 4 km и обясни.

Отговори

1. а) 3 : 4; б) 2 : 5; в) 3 : 8.
2. а) 2 : 3; б) 2 : 5; в) 3 : 5.
3. а) 24, 36; б) 14, 21, 49.
4. а) 1, 8 km; б) 10 cm.
5. а) Вярна, 3 ⋅ 20 = 5 ⋅ 12; б) невярна, 84 ≠ 70.
6. а) 12; б) 8; в) 9.
7. Всичките са верни. а) Реципрочни отношения; б) следва от ad = bc; в) прибавя се 1 към двете отношения.
8. а) 750 g; б) 10 порции.
9. а) y = 4x; б) 2, 8, 14 лв.; в) 4.
10. 0, 3, 6, 9, 12; права през началото и (4; 12) в зададения интервал.
11. а) k = 2, 5; б) 25; в) 14.
12. а) 10 дни; б) 12 работници.
13. 4, 3, 2, 1, 5 h; vt = 120; обратна пропорционалност.
14. а) $y=\frac{24}{x}$; б) 4; в) 12.
15. а) Права; б) обратна; в) права; г) нито права, нито обратна — S = a².
16. а) y = 3 + 2x; б) не; в) 7 и 11 лв., цената не се удвоява.